EM算法的一些思考
EM 算法是 Dempster,Laind,Rubin 于 1977 年提出的求参数极大似然估计的一种方法。EM算法其实更准确说是一个方法论，是一种计算的方法。卧槽，这个算法都41年了！学机器学习把，多复古，多有生命力啊，顺道吐槽一下。
EM用于啥情况啥问题的解决呢？他要解决啥呢？ 他要解决的就是A.隐变量存在，未知、B.参数未知，我靠，俩都未知，咋办。 比如我判断3个高斯按照某种比例分布，但是比例多少不知道，3个高斯的参数均值和方差也未知。 再比如我有3骰子，我置了第一个骰子单双号再决定置第二个骰子，比如单号置剩余的A号骰子，双号置剩余的B号骰子，最终得到一个骰子序列，而这些骰子的某个面的概率不等，让你推断第一个决定单双号的骰子单双号的概率，和后面2个骰子各个面的概率。
真够变态的！这些玩法！
两种学习方法：
- 欧拉方法
- 高斯方法：太严格，晦涩。
EM算法和GMM：
- EM是算法，
- GMM是模型，实打实可以用的东西，是算法推导的结果。
唉，有时候，把问题说清楚、能提出合适的问题，本身就是一件难事。
EM的资料我学习过程中，使用了
- 自然语言处理-序列模型-小象学院-史老师 CRF部分提到EM
- 李航老师的《统计学习方法》第9章
- 《PRML》的第9.4节
- 徐亦达|概率机器学习|高阶讲解
- 邹博的小象的课 EM
- 一个老外讲的，很清晰
- 网上的不错的文章
但是，还是稀里糊涂的，之前听过，想过，都半截放弃掉了，这次痛下决心，一定搞清楚。
先说说对EM的理解：
无论是李航的推导，还是AndrewNG的推导，都是在构建一个对数似然函数，来求$\theta$，但是有隐变量$Z$的存在，所以，就利用Jensen不等式，生生构建出一个函数来，这个函数是对数似然函数的下界，大白话就是总是比似然函数要低。
有了这个下届函数，导出Q函数，Q函数和下届函数等价，这个Q函数是包含了未知参数$\theta$的，然后假装这个$\theta$已知（上来胡蒙一个，之后就靠EM的M阶段推导出来了），然后得到一个关于一个$\mu$或者$\gamma$。$\mu$和$\gamma$的推导定义，参考李航书$P_{156}$和$P_{165}$
$\mu$或者$\gamma$都是期望值，啥叫期望值，是统计的概念，是$\sum$样本 * 概率分布的，所以每拨的样本就做一次期望计算，比如扔抛硬币那个例子里，抛了5次，其中第一次是5个上5个下，那么这次关于隐变量$\mu$期望值($\mu$)代表是隐含的A朝上的次数，再次提醒)就是
其实，我一直不太明白，这个$\mu$或者$\gamma$是怎么推出来的，上面说到的李航书里给出了，但是没有说为什么就是这个式子？！我觉得李航根本没给出这个东西的说明，而且邹博的讲解里也没给出，唯一见到的就是这篇文章中，说“因为他是伯努利分布….”，所以就balabala：
另外，在看看正太分布那个例子中的对于$\gamma$的概率计算，也是大概这个样子，
看到了把，分子是这次(第j个样本)的来自某个（第k个分布）的概率，或者第j个样本，来自A钱币朝上的概率。分母呢，是一个归一化的汇总，比如所有的来自各个分布概率的汇总，或者是来自A朝上和朝下的概率的汇总。挺像的吧，感觉就是个归一化似得，但是我是觉得，这个绝不是偶然，一定是某种推导的结果，但是没有找到任何文献或者文章描述这个细节？？？
下届函数
这个函数，李航的推导的是$B(\theta,\theta^{(i)})$ ，还是AndrewNG的推导的$J(Q,\theta)$，
Q函数
Q函数的引入
李航老师的书中，然后，推导出，假设当前$\theta_i$已知，推导出让这个下界函数（B函数）取得最大值的时候，下一个$\theta_{i+1}$该取得值。推导过程中 ，就推出了Q函数，
定义9.1：（Q函数）完全数据的对数似然函数$logP(Y,Z|\theta)$, 关于在给定的观测数据Y和当前参数$\theta^{(i)}$下，对未观测数据$Z$的条件概率分布$P(Z|Y,\theta^{(i)})$的期望,称为Q函数。 （《统计学习方法》$P_{158}$页） 这个定义狠诡异，是$logP(Y,Z|\theta)$
AndrewNG的Q函数是生凑出来的，它表示Z在假设$\theta$给定后，Z的概率分布函数。（这个和李航老师的Z的分布的期望值的那个定义，还是有很大的差别的）
但是，殊途同归，最终都推导出Q函数，Q函数是EM算法的核心！
两者区别是，李航的Q函数是一个关于Z的期望，而AndrewNG的是一个概率分布。 不过无所谓，都可以用来推导后续的东西，为什么叫后续推导呢？因为针对不同的分布，推倒的方式就是不同的了。 比如Z的分布和Y的分布都是伯努利分布，那对应的这个文章中抛硬币的例子,如果是Z是一个多项分布，Y是一个正态分布，那么就对应这个文章中的男女生分布的例子。
引自《PRML》
更⼩的下届，它的值等于在旧处的对数似然函数值，⽤蓝⾊曲线表⽰。注意，下界与对数似然函数在旧处以切线的⽅式连接，因此两条曲线的梯度相同。这个界是⼀个凹函数，对于指数族分布的混合分布来说，有唯⼀的最⼤值。在M步骤中，下界被最⼤化，得到了新的值新，这个值给出了⽐旧处更⼤的对数似然函数值。接下来的E步骤构建了⼀个新的下界，它在新处与对数似然函数切线连接，⽤绿⾊曲线表⽰。
这个绿线、蓝线就是李航老师讲的$B(\theta,\theta^{(i)})$函数（《统计学习方法》$P_{159}$页）
上面摘抄了2本书的这个逼近曲线，大致就是说，$L(\theta)$咱不是不好算么，那么我就用$Q(\theta,\theta_i)$逼近，先找个她们俩交界的时候的那个$\theta_i$（这个真心不理解？！为何在这个点，他就是个相交并且是下届呢？！），然后，这个时候，确定了这个Q函数，这个Q函数包含了$\theta$变量，是一个关于$\theta$的函数，然后，对这个函数求最大化，从而得到一个新的最大化Q时候的$\theta$的表达式，这个时候，恰好是可以通过样例数据可以算出来，从而，确定了一组新的$\theta$，然后交替进行，得到最逼近的$L(\theta)$的$\theta$。停止条件，就是$\theta$的这次和上次的距离尽量短。$|\theta_t - \theta_{t+1}|<\epsilon$，或者是Q两次具体某个阈值。
再叨叨几句
EM适合模型中，包含隐含变量Z，这样不太好用样本X去直接似然估计$\theta$的情况，这个时候就利用数学推导上的一个Q函数来逼近L($\theta$)的极值的时候的$\theta$。
具体做的时候，先胡乱初始化$\theta$，然后带入Q函数，得到一个关于隐变量Z的式子，然后对Q函数进行$\theta$的偏导求取，得到新的$\theta$，这个新$\theta$是关于隐变量Z概率分布函数的函数，这个时候，通过数据+上轮的$\theta$可以求出这个Z的概率分布值，有了这个Z概率分布值，就可以退出下一轮迭代用的$\theta$，周而复始。
直到达到某个阈值，停止，酱紫。
上面提到的$\theta$是隐变量的函数，是靠对Q函数求$\theta$偏导得到的式子，具体做某种EM算法推导的时候，具体问题具体写式子推导。